Domen funkcije

Područje definicije ili domena funkcije  je skup vrednosti x za koje je vrednost funkcije f(x) određena, odnosno definisana. Područje vrednosti funkcije nazivamo kodomenom.

U tablici su funkcije čije područje definicije nije cijeli skup R.

domen funkcije

Kompozicija i inverzna funkcija

kompozicija i inverzne funkcije

Функције

Функција или пресликавање је правило придруживања једног елемента из скупа {\displaystyle \,X} који се тада назива домен функције, другом елементу из скупа {\displaystyle \,Y}кодомен функције, који се још назива и контрадомен функције, скуп копија, скуп слика. Домен функције{\displaystyle f}се често означава са {\displaystyle {\mathcal {D}}(f)}, а кодомен са{\displaystyle {\mathcal {K}}(f).}

Елементи скупа {\displaystyle \,X} називају се аргументи, независно променљиве, оригинали пресликавања, ликови, или елементи домена. Скуп {\displaystyle Y} назива се кодомен (контрадомен) функције, скуп копија, слика, итд. Често се домен функције f означава са {\displaystyle {\mathcal {D}}(f)}, а кодомен понекад{\displaystyle {\mathcal {K}}(f).} 

За записивање функција обично се користе неке од следећих ознака:{\displaystyle f:X\rightarrow Y,}, {\displaystyle f:x\rightarrow y,\;x\in X,\;y\in Y.} или{\displaystyle y=f(x),}. Опсег, распон, подручје дефиниције функције, односно домен функције {\displaystyle f}представља скуп вредности x за које функција достиже вредности f(x).

Основна карактеристика функције је да за једну улазну вредност добија највише једна излазна вредност.

Основни појмови …razvoj-pojma-funkcije

kvadratna_funk_slika_5

 

Analiticka geometrija

Analitička geometrija u ravni

„Cogito ergo sum” – „Mislim dakle postojim” Rene Dekart

Analitičku geometriju je otkrio Rene Dekart objavljivanjem priloga La Géométrie u svom delu Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les sciences iz 1637 godine. Prema anegdoti, Dekart je inspiraciju za uvođenje koordinatne ravni dobio posmatrajući muvu na plafonu. Analitičkoj geometriji ime je dao Njutn, pri čemu je pod analitičkom geometrijom podrazumevao proučavanje geometrijskih figura pomoću algebarskih jednačina.

Rene Dekart je rođen 31. marta 1596. godine, u La Eju, u Francuskoj. Obrazovanje je stekao u Anjonu upisavši Jezuitsku školu u La Flešu sa samo osam godina. Tu je proveo osam godina učeći logiku, matematiku i tradicionalnu Aristotelovu filozofiju. Imao je problema sa zdravljem, pa je dobio dozvolu da ostaje u krevetu do jedanaest sati ujutru. Tu naviku je zadržao do kraja života. Dekart je verovao da jedino matematika predstavlja sigurno znanje, pa je zato tvrdio da sve mora biti zasnovano na njoj. Po završetku škole preselio se u Pariz i posle nekog vremena upisao je Univerzitet u Puatijeu. Diplomiravši prava 1616, prijavio se za vojnu školu u Bredau. 1618. godine počeo je da uči matematiku i mehaniku kod holandskog naučnika Isaka Bekmana, spoznajući jedinstvo prirodnih nauka. Posle dve godine provedene u Holandiji, putovao je po Evropi da bi se 1619.godine priključio Bavarskoj vojsci. U periodu od 1620. do 1628. godine Dekart je putovao po Evropi, boraveći u Češkoj, Mađarskoj, Nemačkoj, Holandiji i Francuskoj. Dekart se vremenom umorio od silnih putovanja i odlučio da se skrasi. Dugo je birao zemlju koja bi odgovarala njegovoj prirodi i na kraju se odlučio za Holandiju. Tu je živeo tokom sledećih dvadeset godina. 1649. godine švedska kraljica Kristina ubedila je Dekarta da dođe u Stokholm. Dvadesettrogodišnja kraljica je želela da crta tangente u pet sati ujutru, tako da je Dekart razbio svoju životnu naviku ustajanja u jedanaest sati. Želeći da svojim savetima utiče na ćudljivu vladarku, tada moćne zemlje, kako bi time učinio nešto za mir u svetu, Dekart je podnosio surove uslove u zemlji stena i glečera. Posle samo nekoliko meseci provedenih na hladnoj severnoj klimi, hodajući svako jutro do palate, Dekart je umro 11. februara 1650. godine od zapaljenja pluća, u pedeset i četvrtoj godini.

analiticka-geometrija

Delphi tutorijal

http://www.znanje.org/knjige/computer/delphi/01/objekti.htm

Kvadratne jednacine

KVADRATNE JEDNAČINE

formula-za-rjesavanje-kvadratne-jednadzbe

Kvadratne jednačine imaju oblik a{{x}^{2}}+bx+c=0, gde su ab i c realni brojevi, a x nepoznata veličina. Za rešavanje kvadratnih jednačina jako je važno znati kako prepoznati koeficijete ab i c.

Zadatak 1: Izdvojiti koeficijete ab i c u datim kvadratnim jednačinama.a) 3{{x}^{2}}-2x+7=0;     b) {{x}^{2}}+2x+9=0c) 2{{x}^{2}}+x=0;     d) 3{{x}^{2}}-7=0Rešenje:

  1. 3{{x}^{2}}-2x+7=0\Rightarrow a=3b=-2 i c=7
  2. Ovu jednačinu možemo napisati i ovako

    1{{x}^{2}}+2x+9=0\Rightarrow a=1b=2 i c=9

  3. U ovoj jednačini nemamo slobodan član c, pa smatramo da je c=0

    2{{x}^{2}}+x+0=0\Rightarrow a=2b=1 i c=0

  4. Slično kao pod c)

    3{{x}^{2}}-7=0\Rightarrow a=3b=0 i c=-7

Jednačine u kojima je b=0 ili c=0 imaju oblik

a{{x}^{2}}+bx=0 ili a{{x}^{2}}+c=0 ili a{{x}^{2}}=0

i one su nepotpune kvadratne jednačine. Njihovo rešavanje se razlikuje od rešavanja potpunih kvadratnih jednačina.

REŠAVANJE NEPOTPUNIH KVADRATNIH JEDNAČINA

Oblika{{x}^{2}}+bx=0

Rešavanje: U ovom slučaju možemo ispred zagrade izvući zajedničko x:

a{{x}^{2}}+bx=0\Rightarrow (ax+b)x=0

Zadatak 2: Reši jednačinu: 2{{x}^{2}}-3x=0Rešenje2{{x}^{2}}-3x=0\Rightarrow (2x-3)x=0x=0 ili 2x-3=0\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}Rešenja su {{x}_{1}}=0 i {{x}_{2}}=\frac{3}{2}

Dobijamo proizvod monoma i binoma koji je jednak nuli, pa bar jedan od njih mora biti 0, odnosno:

x=0 ili

ax+b=0\Rightarrow ax=-b\Rightarrow x=-\frac{b}{a}

pa su rešenja {{x}_{1}}=0 ili {{x}_{2}}=-\frac{b}{a}

Oblika{{x}^{2}}+c=0

Rešenje: Sada imamo samo jedan nepoznati element, a to je x2:

a{{x}^{2}}+c=0\Rightarrow a{{x}^{2}}=-c\Rightarrow {{x}^{2}}=-\frac{c}{a}\Rightarrow x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}

Opet imamo dva rešenja: {{x}_{1}}=-\sqrt{-\frac{c}{a}} i {{x}_{2}}=\sqrt{-\frac{c}{a}}

Zadatak 3: Reši jednačinu 3{{x}^{2}}-6=0Rešenje3{{x}^{2}}-6=0\Rightarrow 3{{x}^{2}}=6\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{6}{3}\Rightarrow {{x}^{2}}=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}Dakle, rešenja su {{x}_{1}}=-\sqrt{2} i {{x}_{2}}=\sqrt{2}.
Zadatak 4: Reši jednačinu 3{{x}^{2}}=0Rešenje3{{x}^{2}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0Dakle, rešenja su {{x}_{1}}={{x}_{2}}=0.

Oblika{{x}^{2}}=0

Rešenje: Sada imamo da je proizvod a\cdot {{x}^{2}}=0 pa mora biti {{x}^{2}}=0 odnosno x=0 je jedino rešenje.

REŠAVANJE POTPUNIH KVADRATNIH JEDNAČINA

Prilikom rešavanja potpune kvadratne jednačine potrebno je najpre ispitati prirodu njenih rešenja. To radimo ispitivanjem diskriminante kvadratne jednačine. Diskriminantu računamo po formuli D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c. Nakon toga ispitujemo da li je diskriminanta veća, manja ili jednaka nuli.

Ako je diskriminanta veća od 0 kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja, ako je jednaka nuli ima dva realna jednaka rešenja, a ako je manja od 0 jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja.

To je jednostavnije opisano u sledećoj tablici:

Vrednostdiskriminante Priroda rešenja kvadratne jednačine
D>0 Kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja ({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}})
D=0 Kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}})
D<0 Kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}})

Ovo nam omogućava da vidimo kakve su osobine rešenja kvadratne jednačine pre nego što ih pronađemo.

Zadatak 5: Ne nalazeći rešenja datih kvadratnih jednačina ispitaj njihovu prirodu:a) 6{{x}^{2}}-x-1=0    b) {{x}^{2}}-2x+1=0    c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0Rešenje:a) 6{{x}^{2}}-x-1=0\Rightarrow a=6\wedge b=-1\wedge c=-1

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-1)}^{2}}-4\cdot 6\cdot (-1)\Rightarrow D=1+24\Rightarrow D=25

Kako je D=25>0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja ({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}).

b) {{x}^{2}}+2x-1=0\Rightarrow a=1\wedge b=-2\wedge c=1

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-2)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 1\Rightarrow D=4-4\Rightarrow D=0

Kako je D=0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}}).

c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0\Rightarrow a=2\wedge b=-5\wedge c=4

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-5)}^{2}}-4\cdot 2\cdot 4\Rightarrow D=25-32\Rightarrow D=-7

Kako je D=-7<0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja ({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}}).

Dakle, vidimo da kvadratna jednačina uvek ima dva rešenja, a ona su realna i različita, realna i jednaka ili konjugovano kompleksna. Ta rešenja tražimo pomoću formule:

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}

Ovde su u jednoj formuli napisana dva rešenja: {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2\cdot a} i {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2\cdot a}.

Zadatak 6: Nađimo rešenja kvadratnih jednačina iz prethodog zadatka:a) 6{{x}^{2}}-x-1=0    b) {{x}^{2}}-2x+1=0    c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0Rešenje:a) Ovde smo dobili da je D=25>0pa ova kvadratna jednačina ima dva realna razliita rešenja, odnosno

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 6}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{1\pm 5}{12}, odnosno:

{{x}_{1}}=\frac{1+5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=\frac{1-5}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3} pa su rešenja {{x}_{1}}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=-\frac{1}{3}

b) U ovom slučaju je D=0 pa ova kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}}):

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{2\pm 0}{2}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{2}{2}=1

Odnosno {{x}_{1}}={{x}_{2}}=1

c) U trećem slučaju je D=-7<0 pa, prema tablici, ova kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja ({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}}):

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{-7}}{2\cdot 2}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{5\pm i\sqrt{7}}{4}

Pa su rešenja: {{x}_{1}}=\frac{5}{4}+i\frac{\sqrt{7}}{4} i {{x}_{2}}=\frac{5}{4}-i\frac{\sqrt{7}}{4}

Koristeći ova rešenja možemo rastaviti kvadratni trinom na proizvod dva bioma po sledećoj formuli:

Ako su {{x}_{1}} i {{x}_{2}} rešenja kvadratne jednačine a{{x}^{2}}+bx+c=0, tada se kvadratni trinom a{{x}^{2}}+bx+c može napisati kao:a{{x}^{2}}+bx+c=a\cdot (x-{{x}_{1}})\cdot (x-{{x}_{2}})

Kao primer rastavićemo polinom pod a) iz prethodnog zadatka.

Zadatak 7: Rastavi na činioce polinom 6{{x}^{2}}-x-1.Rešenje: Ovaj polinom je kvadratni trinom pa za njega važi gore navedena formula razlaganja. Kako smo videli u prethodnom zadatku, rešenja ovog polinoma su {{x}_{1}}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=-\frac{1}{3}, a vrednost a je a=6, pa prema formuli, imamo da je:6{{x}^{2}}-x-1=6\cdot (x-\frac{1}{2})\cdot (x-(-\frac{1}{3}))=6\cdot (x-\frac{1}{2})\cdot (x+\frac{1}{3})čime je ovaj zadatak završen.
    Ovde mozete preuzeti sadrzaj:

Zadaci za vezbanje

Domaci 1.

Uraditi zadatke: 1. ,2., 3., 4.,5. i 6.,

zadaci za domaci i vezbanje stepenovanje i korenovanje

Animated_boy_math